Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{4x-3-x^2}$的定義域為A；函數(shù)g（x）=log₂[$（\frac{1}{2}）^{x}$+2]在[-1，+∞）上的值域為B．
（1）求A∩（∁_RB）；
（2）若集合C={x|a≤x≤3a-1}，且C∩A=C，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出A，B，結(jié)合集合的基本運算進(jìn)行求解即可．
（2）若C∩A=C，則C⊆A，討論集合C是否是空集，根據(jù)集合關(guān)系建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由4x-3-x²≥0，即x²-4x+3≤0，解得1≤x≤3，即A=[1，3]，
當(dāng)x≥-1時，0＜$（\frac{1}{2}）^{x}$≤2，則2＜$（\frac{1}{2}）^{x}$+2≤4，則log₂2＜log₂[$（\frac{1}{2}）^{x}$+2]≤log₂4，
即1＜g（x）≤2，即B=（1，2]．
則∁_RB=（-∞，1]∪（2，+∞），
則A∩（∁_RB）=（2，3]；
（2）若C∩A=C，則C⊆A，
若C=∅，則a＞3a-1，即2a＜1，解得a＜$\frac{1}{2}$，
若C≠∅，即a≥$\frac{1}{2}$，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{3a-1≤3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{a≤\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，即1≤a≤$\frac{4}{3}$，
∵a≥$\frac{1}{2}$，
∴1≤a≤$\frac{4}{3}$，
綜上1≤a≤$\frac{4}{3}$或a＜$\frac{1}{2}$，
即實數(shù)a的取值范圍是1≤a≤$\frac{4}{3}$或a＜$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查集合的基本運算，求出集合的等價條件是解決本題的關(guān)鍵．