Question

4．已知函數$f（x）=\frac{{-{2^x}+b}}{{{2^{x+1}}+a}}$是定義在[-1，1]上的奇函數．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的值域；
（3）若對任意t∈R，x∈[-1，1]，不等式f（x）＜3t²-λt+1恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（0）=0，f（-1）+f（1）=0，解得a=2，b=1，注意檢驗；
（2）化簡f（x）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{1+{2}^{x}}$，x∈[-1，1]，運用指數函數的單調性，可得f（x）的值域；
（3）由題意可得3t²-λt+1＞f（x）_max=$\frac{1}{6}$，再由判別式小于0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由題意可得f（0）=0，
即有$\frac{b-1}{2+a}$=0，解得b=1；
又f（-1）+f（1）=0，即為
$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+a}$+$\frac{1-2}{a+4}$=0，解得a=2．
即有f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$，
f（-x）+f（x）=$\frac{1-{2}^{-x}}{2（1+{2}^{-x}）}$+$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$=$\frac{{2}^{x}-1+1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$=0，
故f（x）為奇函數，即有a=2，b=1；
（2）f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{1+{2}^{x}}$，x∈[-1，1]，
由y=2^x在[-1，1]遞增，可得f（x）在[-1，1]遞減，
即有f（x）的值域為[f（1），f（-1）]，
即為[-$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{6}$]；
（3）對任意t∈R，x∈[-1，1]，不等式f（x）＜3t²-λt+1恒成立，
即為3t²-λt+1＞f（x）_max=$\frac{1}{6}$，
即有△＜0，即λ²-4×3×$\frac{5}{6}$＜0，
解得-$\sqrt{10}$＜λ＜$\sqrt{10}$．
即有λ的取值范圍為（-$\sqrt{10}$，$\sqrt{10}$）．

點評 本題考查函數的奇偶性的運用和值域的求法，注意運用奇函數的性質和指數函數的單調性，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用函數的最值和二次不等式恒成立的解法，屬于中檔題．