Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{x+2}$-ax²，a∈R．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（3）若函數(shù)f（x）有四個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時(shí)，由f（x）=0解方程即可得函數(shù)的零點(diǎn)；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，由f（x）=0解方程即可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（3）若函數(shù)f（x）有四個(gè)不同的零點(diǎn)，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可求a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{x+2}$-ax²=$\frac{|x|-{2x}^{2}（x+2）}{x+2}$，
令|x|-2x²（x+2）=0，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x-{2x}^{3}-{4x}^{2}=0}\end{array}\right.$…①或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{-x-{2x}^{3}-{4x}^{2}=0}\end{array}\right.$…②，
由①可得 x=0，x=$\frac{\sqrt{6}}{2}+1$，或$x=\frac{\sqrt{6}}{2}-1$；
由②可得$x=\frac{\sqrt{2}}{2}-1$，
綜上，當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為x=0，x=$\frac{\sqrt{6}}{2}+1$，$x=\frac{\sqrt{6}}{2}-1$或$x=\frac{\sqrt{2}}{2}-1$；
（2）當(dāng)a＞0，x＞0時(shí)，
函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{x+2}$-ax²=$\frac{x-{ax}^{3}-2{ax}^{2}}{x+2}=\frac{x（1-{ax}^{2}-2ax）}{x+2}$，
令f（x）=0，
可得x（1-ax²-2ax）=0，
解得x=-1+$\sqrt{2}$，x=0（舍去），或x=-1-$\sqrt{2}$（舍去），
即函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)x=-1+$\sqrt{2}$；
（3）函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{x+2}$-ax²有四個(gè)不同的零點(diǎn)，
①x=0時(shí)，f（0）=0，所以x=0是函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)x≠0時(shí)，可得y=$\frac{|x|}{{x}^{2}}$與y=a（x+2）的圖象在平面直角坐標(biāo)系中有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
分別畫(huà)出它們的圖象如下：
當(dāng)y=a（x+2）與y=-$\frac{1}{x}$相切時(shí)，a=1，
所以若函數(shù)f（x）有四個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍為（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義建立方程公式是解決本題的關(guān)鍵．考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．