Question

13．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為1的正方形，A₁A=1且A₁B=A₁D=$\sqrt{2}$．
（1）求證：A₁A⊥平面ABCD；
（2）求該四棱柱的內(nèi)切球體積．

Answer 1

分析 （1）由四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為1的正方形，A₁A=1且A₁B=A₁D=$\sqrt{2}$，可得A₁A⊥AB，A₁A⊥AD，從而便證出AA₁⊥面ABCD；
（2）由（1）可知，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，四棱柱的內(nèi)切球的半徑為$\frac{1}{2}$，可得四棱柱的內(nèi)切球體積．

解答 （1）證明：∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為1的正方形，A₁A=1且A₁B=A₁D=$\sqrt{2}$，
∴A₁A⊥AB，A₁A⊥AD；
∵AB?面ABCD，AD?面ABCD，AB∩AD=A；
∴A₁A⊥面ABCD；
（2）解：由（1）可知，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，
∴四棱柱的內(nèi)切球的半徑為$\frac{1}{2}$，
∴四棱柱的內(nèi)切球體積為$\frac{4}{3}π•\frac{1}{8}$=$\frac{π}{6}$．

點評 考查直角三角形邊的關(guān)系，線面垂直的判定定理，考查球的體積公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．