Question

15．下列若干命題中，正確命題的序號是①③．
①“a=3”是直線ax+2y+2a=0和直線3x+（a-l）y-a+7=0平行的充分不必要條件；
②△ABC中，若acosA=bcos B，則該三角形形狀為等腰三角形；
③兩條異面直線在同一平面內(nèi)的投影可能是兩條互相垂直的直線；
④函數(shù)y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）sin（$\frac{π}{6}$-2x）的最小正周期是π．

Answer 1

分析 ①當a=1時，兩條直線不平行；當a≠1時，兩條直線分別化為：$y=-\frac{a}{2}x-a$，$y=\frac{3}{1-a}x$+$\frac{a-7}{a-1}$，兩條直線平行的充要條件為：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}=\frac{3}{1-a}}\\{-a≠\frac{a-7}{a-1}}\end{array}\right.$，解出a即可判斷出正②由acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，化為sin2A=sin2B，可得A=B，或A+B=$\frac{π}{2}$，即可判斷出三角形的形狀；
③利用正方體相互為異面直線的棱所在直線即可判斷出投影的位置關(guān)系；
④利用誘導公式與倍角公式可得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）sin（$\frac{π}{6}$-2x）=$\frac{1}{2}sin（4x+\frac{2π}{3}）$，其最小正周期是$\frac{2π}{4}$，即可判斷出正誤．

解答 解：①當a=1時，兩條直線不平行；當a≠1時，兩條直線分別化為：$y=-\frac{a}{2}x-a$，$y=\frac{3}{1-a}x$+$\frac{a-7}{a-1}$，∴兩條直線平行的充要條件為：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}=\frac{3}{1-a}}\\{-a≠\frac{a-7}{a-1}}\end{array}\right.$，解得a=3或a=-2，∴“a=3”是直線ax+2y+2a=0和直線3x+（a一l）y-a+7=0平行的充分不必要條件，正確；
②△ABC中，若acosA=bcosB，由正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，化為sin2A=sin2B，∵A，B∈（0，π），∴2A=2B，2A=π-2B，解得A=B，或A+B=$\frac{π}{2}$．
則該三角形形狀為等腰三角形或直角三角形，因此不正確；
③利用正方體相互為異面直線的棱所在直線可得：兩條異面直線在同一平面內(nèi)的投影可能是兩條互相垂直的直線，正確；
④函數(shù)y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）sin（$\frac{π}{6}$-2x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）（$cos[\frac{π}{2}-（\frac{π}{6}-2x）]$=$\frac{1}{2}sin（4x+\frac{2π}{3}）$，其最小正周期是$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，因此不正確．
綜上正確的命題為：①③．
故答案為：①③．

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、直線的平行充要條件、正弦定理、異面直線的性質(zhì)、倍角公式等基礎(chǔ)知識，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．