Question

7．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax-$\frac{1}{3}$，a∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與曲線y=g（x）相切，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)a≥0，若對(duì)?x₁、x₂∈（0，$\frac{1}{2}$），且x₁≠x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若存在不相等的實(shí)數(shù)x₁，x₂，x₃，使得$\left\{\begin{array}{l}{g（{x}_{i}）=-{x}_{i}^{2}+b}\\{{g}^{'}（{x}_{i}）=0}\end{array}\right.$（i=1，2，3）成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，可得切線方程，再設(shè)與g（x）相切的切點(diǎn)為（m，n），求得g（x）的導(dǎo)數(shù)，列出方程，即可解得a=0；
（2）不妨設(shè)x₁＞x₂，由f（x），g（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，化簡(jiǎn)原不等式可得f（x₁）-g（x₁）＞f（x₂）-g（x₂），可設(shè)h（x）=f（x）-g（x），由題意可得h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)大于0，結(jié)合參數(shù)分離求得a的范圍．
（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：關(guān)于x的方程-$\frac{2}{3}$x³+x²=$\frac{1}{3}$+b有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，畫出圖象，得到關(guān)于b的不等式，解出即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$，
曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為1，
切點(diǎn)為（1，0），則切線方程為y=x-1，
設(shè)與g（x）相切的切點(diǎn)為（m，n），則g′（x）=x²+a，
由m²+a=1，m-1=$\frac{1}{3}$m³+am-$\frac{1}{3}$，
解得m=1，a=0；
（2）不妨設(shè)x₁＞x₂，由f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，
可得f（x₁）＞f（x₂），
再由g′（x）=x²+a，（a≥0），g（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，
則|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|即為
f（x₁）-f（x₂）＞g（x₁）-g（x₂），
即有f（x₁）-g（x₁）＞f（x₂）-g（x₂），
可設(shè)h（x）=f（x）-g（x），
由題意可得h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，
由h′（x）=$\frac{1}{x}$-x²-a≥0在（0，$\frac{1}{2}$）恒成立，
即有a≤$\frac{1}{x}$-x²的最小值，
由$\frac{1}{x}$-x²在（0，$\frac{1}{2}$）遞減，可得$\frac{1}{x}$-x²＞2-$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{4}$．
即有0≤a≤$\frac{7}{4}$．
則a的取值范圍是[0，$\frac{7}{4}$]．
（3）由g（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax-$\frac{1}{3}$=-x²+b，得：$\frac{1}{3}$x³+ax-$\frac{1}{3}$+x²-b=0①，
由g′（x）=x²+a=0，得：a=-x²，②，
②代入①得：-$\frac{2}{3}$x³+x²=$\frac{1}{3}$+b③，
若存在不相等的實(shí)數(shù)x₁，x₂，x₃，使得$\left\{\begin{array}{l}{g（{x}_{i}）=-{x}_{i}^{2}+b}\\{{g}^{'}（{x}_{i}）=0}\end{array}\right.$（i=1，2，3）成立，
等價(jià)于關(guān)于x的方程③有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
令m（x）=-$\frac{2}{3}$x³+x²，n（x）=$\frac{1}{3}$+b，
問(wèn)題等價(jià)于m（x），n（x）有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
而m′（x）=-2x²+2x=-2x（x-1），
令m′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令m′（x）＜0，解得：x＞1或x＜0，
∴m（x）在（-∞，0）遞減，在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
m（0）=0，m（$\frac{3}{2}$）=0，m（1）=$\frac{1}{3}$+b，
畫出函數(shù)m（x）的圖象，如圖示：
，
由圖象得：若m（x）與n（x）有3個(gè)交點(diǎn)，只需0＜$\frac{1}{3}$+b＜$\frac{1}{3}$，
解得：-$\frac{1}{3}$＜b＜0，
故b的范圍是（-$\frac{1}{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性解決．