Question

20．設(shè)F為拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，A、B、C為該拋物線上三點(diǎn)，若$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，且|$\overrightarrow{FA}$|+|$\overrightarrow{FB}$|+$\overrightarrow{FC}$|=6，則p=2．

Answer 1

分析 設(shè)向量$\overrightarrow{FA}$，$\overrightarrow{FB}$，$\overrightarrow{FC}$分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂）（x₃，y₃）則可知x₁+x₂+x₃=0，進(jìn)而表示出A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線定義可分別表示出|FA|，|FB|和|Fc|，進(jìn)而根據(jù)|FA|+|FB|+|Fc|=6，求得p，則拋物線方程可得．

解答 解：設(shè)向量FA FB FC分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂）（x₃，y₃） 則x₁+x₂+x₃=0，
|FA|+|FB|+|FC|=6，
x_A=x₁+$\frac{p}{2}$同理x_B=x₂+$\frac{p}{2}$，x_C=x₃+$\frac{p}{2}$，
|FA|=x₁++$\frac{p}{2}$++$\frac{p}{2}$=x₁+p，
∴x₁+x₂+x₃+3p=6，
∴p=2，
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查三角形的重心坐標(biāo)公式，拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．