Question

10．已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+|2x-1|．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求關(guān)于x的不等式f（x）≤6的解集；
（2）當(dāng)x∈R時(shí)，求實(shí)數(shù)f（x）≥a²-a-13的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類討論，即可求關(guān)于x的不等式f（x）≤6的解集；
（2）當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）≥a²-a-13等價(jià)于|1-a|≥a²-a-13，分類討論，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，不等式f（x）≤6為|2x-3|+|2x-1|≤6
若x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，不等式可化為-（2x-3）-（2x-1）=-4x+4≤6，解得-$\frac{1}{2}$≤x＜$\frac{1}{2}$，
若$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$時(shí)，不等式可化為-（2x-3）+（2x-1）=2≤6，解得$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$，
若x＞$\frac{3}{2}$時(shí)，不等式可化為（2x-3）+（2x-1）=4x-4≤6，解得$\frac{3}{2}$＜x≤$\frac{5}{2}$，
綜上所述，關(guān)于x的不等式f（x）≤6的解集為{x|-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{5}{2}$}．     …（5分）
（2）當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）=|2x-a|+|2x-1|≥|2x-a+1-2x|=|1-a|，
所以當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）≥a²-a-13等價(jià)于|1-a|≥a²-a-13，
當(dāng)a≤1時(shí)，等價(jià)于1-a≥a²-a-13，解得-$\sqrt{14}$≤a≤1，
當(dāng)a＞1時(shí)，等價(jià)于a-1≥a²-a-13，解得1＜a≤1+$\sqrt{13}$，
所以a的取值范圍為[-$\sqrt{14}$，1+$\sqrt{13}$]．   …（10分）

點(diǎn)評 本題考查不等式的解法，考查絕對值不等式的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．