Question

18．設(shè)S_n是正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a_n和S_n滿足4S_n=（1+a_n）²（n=1，2，…），求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 由4S_n=（1+a_n）²，得4S_n-1=（1+a_n-1）²，兩式相減得到a_n-a_n-1=2，由此能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：∵S_n是正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a_n和S_n滿足4S_n=（1+a_n）²（n=1，2，…），
∴4S_n=（1+a_n）²，①
4S_n-1=（1+a_n-1）²，n≥2，②
①-②，得：4a_n=${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}+2{a}_{n}-2{a}_{n-1}$，n≥2
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）-2（a_n+a_n-1）=0，n≥2，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，
當(dāng)n=1時(shí)，$4{S}_{1}=4{a}_{1}=（1+{a}_{1}）^{2}$，解得a₁=1，
∴{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．