Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（a^x-a^-x），（a＞0，a≠1）
（1）求f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（2）證明f^-1（x）的圖象關于原點成中心對稱．

Answer 1

分析 （1）利用反函數(shù)的定義得出即a^x=y$+\sqrt{{y}^{2}+1}$，兩邊取對數(shù)即可．
（2）根據(jù)f^-1（-x）=log_a（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），利用奇函數(shù)的定義判斷即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（a^x-a^-x），（a＞0，a≠1）
∴y=$\frac{1}{2}$（a^x-a^-x），（a＞0，a≠1）
即a^x=y$+\sqrt{{y}^{2}+1}$，
x=log_a（y$+\sqrt{{y}^{2}+1}$），
∴f（x）的反函數(shù)f^-1（x）=log_a（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）．
（2）定義域為；（-∞，+∞），關于原點對稱．
f^-1（-x）=log_a（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=log_a$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$=-log_a（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）=-f^-1（x）
∴f^-1（x）為奇函數(shù)
∴f^-1（x）的圖象關于原點成中心對稱；

點評 本題考查了反函數(shù)的定義，奇函數(shù)的對稱問題，屬于容易題，關鍵是確定解析式，定義域．．