Question

10．已知函數f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，當x＞0時，f（x）=-$\frac{1}{x}$+1
（1）當x＜0時，求函數f（x）的解析式；
（2）證明函數f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是單調增函數．

Answer 1

分析 （1）根據函數f（x）是奇函數，得出f（-x）=-f（x），
再根據x＞0時f（x）的解析式，求出x＜0時f（x）的解析式；
（2）用定義證明f（x）是（-∞，0）上的單調增函數即可．

解答 解：（1）函數f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，
∴f（-x）=-f（x）；
又x＞0時，f（x）=-$\frac{1}{x}$+1，
∴x＜0時，-x＞0，
∴f（-x）=-$\frac{1}{-x}$+1=$\frac{1}{x}$+1；
∴-f（x）=$\frac{1}{x}$+1，
∴f（x）=-$\frac{1}{x}$-1；
即x＜0時，f（x）=-$\frac{1}{x}$-1；
（2）證明：任取x₁、x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（-$\frac{1}{{x}_{1}}$-1）-（-$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）=$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$，
∵x₁＜x₂＜0，∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是（-∞，0）上的單調增函數．

點評 本題考查了函數的奇偶性與單調性的應用問題，是基礎題目．