Question

20．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=3a_n+2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）na_n=-n$（\frac{3}{2}）^{n-1}$．再利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=3a_n+2，∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3a₁+2，解得a₁=-1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（3a_n+2）-（3a_n-1+2），化為${a}_{n}=\frac{3}{2}{a}_{n-1}$，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為-1，公比為$\frac{3}{2}$，解得a_n=-$（\frac{3}{2}）^{n-1}$．
（2）na_n=-n$（\frac{3}{2}）^{n-1}$．
∴數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n=-1-$2×\frac{3}{2}$-3×$（\frac{3}{2}）^{2}$-…-$n×（\frac{3}{2}）^{n-1}$，
即-T_n=1+$2×\frac{3}{2}$+3×$（\frac{3}{2}）^{2}$+…+$n×（\frac{3}{2}）^{n-1}$，
$-\frac{3}{2}{T}_{n}$=$\frac{3}{2}$+2×$（\frac{3}{2}）^{2}$+…+（n-1）×$（\frac{3}{2}）^{n-1}$+n×$（\frac{3}{2}）^{n}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+$\frac{3}{2}$+$（\frac{3}{2}）^{2}$+…+$（\frac{3}{2}）^{n-1}$-n×$（\frac{3}{2}）^{n}$=$\frac{（\frac{3}{2}）^{n}-1}{\frac{3}{2}-1}$-n×$（\frac{3}{2}）^{n}$=$（2-n）×（\frac{3}{2}）^{n}$-2，
∴T_n=$（4-2n）×（\frac{3}{2}）^{n}$-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．