Question

3．設(shè)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{1+a{x}^{2}}$，其中a為正實(shí)數(shù)，若f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍為0＜a≤1．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，可知導(dǎo)函數(shù)在（0，+∞）大于等于0（或小于等于0）恒成立，然后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立問題求得a的取值范圍．

解答 解：由f（x）=$\frac{{e}^{x}}{1+a{x}^{2}}$，得${f}^{′}（x）=\frac{{e}^{x}（1+a{x}^{2}）-2ax{e}^{x}}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$，
∵f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，
∴${f}^{′}（x）=\frac{{e}^{x}（1+a{x}^{2}）-2ax{e}^{x}}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立①，
或${f}^{′}（x）=\frac{{e}^{x}（1+a{x}^{2}）-2ax{e}^{x}}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$≤0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立②，
由①得，e^x（ax²-2ax+1）≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
∵a＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（-2a）^{2}-4a≤0}\end{array}\right.$，解得：0＜a≤1．
由②得，e^x（ax²-2ax+1）≤0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
∵a＞0，∴滿足e^x（ax²-2ax+1）≤0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立的a不存在．
綜上，a的取值范圍為0＜a≤1．
故答案為：0＜a≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．