Question

8．已知拋物線C：y²=4x的焦點為F，點K是C的準線l和x軸的交點，P在C上運動，則滿足條件$\overrightarrow{FM}$=$\overrightarrow{FK}$+$\overrightarrow{FP}$的動點M的軌跡方程是y²=4（x+2）．

Answer 1

分析 由拋物線的方程求出其準線方程和焦點坐標，進一步得到K的坐標，設(shè)出M和P的坐標，由向量等式把P的坐標用M的坐標表示，代入拋物線方程得答案．

解答 解：如圖，
由拋物線C：y²=4x，得2p=4，p=2，$\frac{p}{2}=1$，
∴其準線方程為x=-1，則K（-1，0），F(xiàn)（1，0），
設(shè)M（x，y），P（x₀，y₀），
∴$\overrightarrow{FM}=（x-1，y），\overrightarrow{FK}=（-2，0）$，$\overrightarrow{FP}=（{x}_{0}-1，{y}_{0}）$，
由$\overrightarrow{FM}$=$\overrightarrow{FK}$+$\overrightarrow{FP}$，得（x-1，y）=（-2，0）+（x₀-1，y₀）=（x₀-3，y₀），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1={x}_{0}-3}\\{y={y}_{0}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=x+2}\\{{y}_{0}=y}\end{array}\right.$，
代入y²=4x，得y²=4（x+2）．
∴動點M的軌跡方程是y²=4（x+2）．
故答案為：y²=4（x+2）．

點評 本題考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查了向量的坐標運算，訓(xùn)練了代入法求軌跡方程，是中檔題．