Question

18．已知函數(shù)f（x）=x³-ax-1，
（1）若a=3，試討論f（x）的單調性．
（2）若f（x）在區(qū)間（1，+∞）內為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知先求f′（x）=3x²-3，令3x-3=0 得：x=±1，通過討論f′（x）＞0或f′（x）＜0即可得f（x）的單調性．
（2）有f′（x）=3x²-a，且f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)，可得a≤3x²在（1，+∞）恒成立，從而解得a的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-3．
令 3x²-3=0 得 x=±1
當 x＞1 或 x＜-1 時，f′（x）＞0；
當-1＜x＜1 時，f′（x）＜0．
因此 f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上為增函數(shù)，f（x） 在 （-1，1）上為減函數(shù)．
（2）因為f′（x）=3x²-a，且f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)，
所以f′（x）≥0在（1，+∞）恒成立，即3x²-a≥0在（1，+∞）恒成立，
所以a≤3x²在（1，+∞）恒成立，
即a≤3．
故a的取值范圍是（-∞，3]．

點評 本題主要討論含有參數(shù)的函數(shù)的單調性，通常歸結為求含參不等式的解集問題，而對含有參數(shù)的不等式要針對具體情況進行討論，但要始終注意定義域對單調性的影響以及分類討論的標準，已知函數(shù)的單調性確定參數(shù)問題更是各類考試的重點，應注意掌握，屬于中檔題．