Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²+ax+1（a∈R），求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1，由函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系分類(lèi)討論解不等式可得．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²+ax+1，
∴f′（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1，
當(dāng)a-1≥0時(shí)，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)a-1＜0時(shí)，解f′（x）＞0可得x＞-1+$\sqrt{1-a}$或x＜-1-$\sqrt{1-a}$，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-1-$\sqrt{1-a}$）和（-1+$\sqrt{1-a}$，+∞）上單調(diào)遞增；
解不等式f′（x）＜0可得-1-$\sqrt{1-a}$＜x＜-1+$\sqrt{1-a}$，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1-$\sqrt{1-a}$，-1+$\sqrt{1-a}$）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，涉及分類(lèi)討論的思想，屬基礎(chǔ)題．