Question

14．一座圓形拱橋，當(dāng)水面在如圖所示位置時，拱橋離水面2米，水面寬12米，當(dāng)水面下降1米后水面寬為2$\sqrt{51}$米．

Answer 1

分析 先根據(jù)題目條件建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，得到各點的坐標(biāo)，通過設(shè)圓的半徑，可得圓的方程，然后將點的坐標(biāo)代入確定圓的方程，設(shè)當(dāng)水面下降1米后可設(shè)A′的坐標(biāo)為（x₀，-3）（x₀＞0）根據(jù)點在圓上，可求得x₀的值，從而得到問題的結(jié)果．

解答 解：以圓拱拱頂為坐標(biāo)原點，以過拱頂頂點的豎直直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)圓心為C，水面所在弦的端點為A，B，則由已知可得：A（6，-2），
設(shè)圓的半徑為r，則C（0，-r），即圓的方程為x²+（y+r）²=r²，
將A的坐標(biāo)代入圓的方程可得r=10，
所以圓的方程是：x²+（y+10）²=100
則當(dāng)水面下降1米后可設(shè)A′的坐標(biāo)為（x₀，-3）（x₀＞0）
代入圓的方程可得x₀=$\sqrt{51}$，
所以當(dāng)水面下降1米后，水面寬為2$\sqrt{51}$米．
故答案為：2$\sqrt{51}$．

點評 本題考查了圓的方程的綜合應(yīng)用，以及點在圓上的條件的轉(zhuǎn)化，圓的對稱性的體現(xiàn)，是個基礎(chǔ)題．