Question

11．已知函數(shù)f（x）=a+$\frac{1}{{4}^{x}+1}$+$\frac{1}{x}$是奇函數(shù)，則函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2．

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）=a+$\frac{1}{{4}^{x}+1}$+$\frac{1}{x}$是奇函數(shù)可求得a=-$\frac{1}{2}$，從而化為方程2（4^x+1）+2x-x（4^x+1）=0（x≠0）的解的個(gè)數(shù)，再由數(shù)形結(jié)合的思想求解零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=a+$\frac{1}{{4}^{x}+1}$+$\frac{1}{x}$是奇函數(shù)，
∴f（-1）=-f（1），f（-1）=a+$\frac{1}{{4}^{-1}+1}$-1=a-$\frac{1}{5}$，
f（1）=a+$\frac{1}{5}$+1=a+$\frac{6}{5}$，
∴a+$\frac{6}{5}$+a-$\frac{1}{5}$=0，
故a=-$\frac{1}{2}$；
經(jīng)檢驗(yàn)，f（x）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{4}^{x}+1}$+$\frac{1}{x}$是奇函數(shù)，
由-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{4}^{x}+1}$+$\frac{1}{x}$=0得，
2（4^x+1）+2x-x（4^x+1）=0（x≠0）；
∴4^x+1=$\frac{2x}{2-x}$；
作函數(shù)y=4^x+1與函數(shù)y=$\frac{2x}{x-2}$的圖象如右圖，
結(jié)合圖象可得，
函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷與應(yīng)用及方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．