Question

5．已知△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，A=2B，若C為鈍角，求$\frac{c}$的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得$\frac{c}$=$\frac{sinC}{sinB}$=$\frac{sin（A+B）}{sinB}$=4cos²B-1，由已知及三角形內(nèi)角和定理可得0＜B＜30°，從而可求4cos²B-1的取值范圍，即可得解．

解答 解：三角形ABC中，A=2B，C為鈍角，
因?yàn)椋篈+B+C=180°，
所以：2B+B+C=180°，
所以：C=180°-3B＞90°，
解得：0＜B＜30°，
根據(jù)正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
所以：
$\frac{c}$=$\frac{sinC}{sinB}$=$\frac{sin（A+B）}{sinB}$=$\frac{sin3B}{sinB}$=$\frac{sin2BcosB+cos2BsinB}{sinB}$=2cos²B+2cos²B-1=4cos²B-1，
因?yàn)椋?＜B＜30°
所以：$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜cosB＜1，
所以：$\frac{3}{4}$＜cos²B＜1
所以：3＜4cos²B＜4
所以：2＜$\frac{c}$=4cos²B-1＜3，
所以：$\frac{c}$的取值范圍是（2，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，正弦定理及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．