Question

20．如圖所示，已知過一點P（1，-1）作拋物線y=x²的兩條切線，切點分別為A、B；過點P的直線l與拋物線y=x²和線段AB分別相交于兩點C、D和點Q．
（Ⅰ）求直線AB的方程；
（Ⅱ）試問：線段PC、PQ、PD的長度的倒數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列？請加以證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出切點A，B的坐標，對拋物線方程求導(dǎo)，求得切線方程的斜率，則直線方程可得，把點P（1，-1）代入直線方程聯(lián)立求得AB的直線方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線l的參數(shù)方程，代入直線AB的方程和拋物線方程，運用韋達定理，結(jié)合參數(shù)的幾何意義和等差數(shù)列的中項，即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)切點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又y'=2x，
則切線PA的方程為：y-y₁=2x₁（x-x₁），即y=2x₁x-y₁，
切線PB的方程為：y-y₂=2x₂（x-x₂）即y=2x₂x-y₂，
由P（1，-1）是PA、PB交點可知：-1=2x₁-y₁，-1=2x₂-y₂，
∴過A、B的直線方程為y=2x+1；
（Ⅱ）設(shè)過P的直線方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入直線y=2x+1可得，|PQ|=t=$\frac{4}{sinα-2cosα}$，
代入拋物線方程，可得t²cos²α+（2cosα-sinα）t+2=0，
即有判別式△=（2cosα-sinα）²-8cos²α＞0，
且t₁+t₂=$\frac{sinα-2cosα}{co{s}^{2}α}$，t₁t₂=$\frac{2}{co{s}^{2}α}$，
由$\frac{1}{{t}_{1}}$+$\frac{1}{{t}_{2}}$=$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{sinα-2cosα}{2}$，
$\frac{2}{|PQ|}$=$\frac{1}{|PC|}$+$\frac{1}{|PD|}$．
則線段PC、PQ、PD的長度的倒數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列．

點評 本題主要考查了直線與拋物線的綜合問題．考查了學(xué)生分析問題和基本的運算能力．屬于中檔題．