Question

16．函數(shù)f（x）=$\frac{sin2xcosx}{1-sinx}$的值域是[-$\frac{1}{2}$，4）．

Answer 1

分析 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式化簡f（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的值域，以及二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{sin2xcosx}{1-sinx}$=$\frac{2sinx{•cos}^{2}x}{1-sinx}$=$\frac{2sinx（1{-sin}^{2}x）}{1-sinx}$=$\frac{2sinx•（1+sinx）（1-sinx）}{1-sinx}$=2sinx（1+sinx），-1≤sinx＜1．
令sinx=t，則t∈[-1，1），f（x）=g（t）=2t（1+t）=2t²+2t=2${（t+\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{2}$，
故當t=-$\frac{1}{2}$時，函數(shù)g（t）取得最小值為-$\frac{1}{2}$，當t的值趨于1時，g（t）的值趨于4，
故函數(shù)g（t）的值域為[-$\frac{1}{2}$，4），
故答案為：[-$\frac{1}{2}$，4）．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，正弦函數(shù)的值域，以及二次函數(shù)的性質(zhì)應用，屬于中檔題．