Question

7．設(shè)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，且對(duì)于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，如果?m，n∈R，f（m²-6m+23）+f（n²-8n）＜0成立，那么點(diǎn)P（m，n）與圓A：（x-3）²+（y-4）²=4的位置關(guān)系是（　　）

• A． P在圓內(nèi)
• B． P在圓上
• C． P在圓外
• D． 無法判斷

Answer 1

分析 由f（1-x）+f（1+x）=0得出f（1-x）=-f（1+x），化簡(jiǎn)f（m²-6m+23）+f（n²-8n）＜0，再由f（x）是R上的增函數(shù)，得出m、n的關(guān)系式，從而判斷點(diǎn)P在圓內(nèi)．

解答 解：∵對(duì)于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，
∴f（1-x）=-f（1+x），
又∵f（m²-6m+23）+f（n²-8n）＜0，
∴f（m²-6m+23）＜-f[（1+（n²-8n-1）]，
∴f（m²-6m+23）＜f[（1-（n²-8n-1）]=f（2-n²+8n）；
又∵f（x）是R上的增函數(shù)，
∴m²-6m+23＜2-n²+8n，
∴（m-3）²+（n-4）²＜4；
又∵（x-3）²+（y-4）²=4的圓心為（3，4），半徑為2，
∴（m-3）²+（n-4）²＜4表示圓內(nèi)的點(diǎn)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．