Question

16．已知曲線y=2x²-7．
（1）求曲線在點P（3，11）處的切線方程；
（2）求曲線過點P（3，9）的切線方程；
（3）求斜率為4的曲線的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，即可求曲線在點P（3，11）處的切線方程；
（2）設(shè)切點坐標(biāo)，可得切線方程，將P（3，9）及y₀=2x₀²-7代入求出切點坐標(biāo)，從而可求出切線方程；
（3）利用斜率為4，求出切點坐標(biāo)，即可求斜率為4的曲線的切線方程．

解答 解：（1）∵y=2x²-7，∴y′=4x，
x=3時，y′=12，∴曲線在點P（3，11）處的切線方程為y-11=12（x-3），即12x-y-25=0；
（2）∵y=2x²-7，∴y′=4x
設(shè)切點坐標(biāo)為（x₀，y₀），則切線方程為y-y₀=4x₀（x-x₀）．
將P（3，9）及y₀=2x₀²-7代入，可得9-（2x₀²-7）=4x₀（3-x₀），
解得x₀=2或x₀=4，
∴設(shè)切點坐標(biāo)為（2，1）或（4，25），
∴曲線過點P（3，9）的切線方程為8x-y-15=0或16x-y-39=0；
（3）由y′=4x=4，可得x=1，∴y=-5，
∴斜率為4的曲線的切線方程為y+5=4（x-1），即4x-y-9=0．

點評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，同時考查了計算能力和轉(zhuǎn)化的思想，解曲線的切線問題要特別注意是“在”還是“過”點．屬于中檔題．