Question

11．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=-1，a_n+1=S_n+1S_n，則S_n=-$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 通過(guò)S_n+1-S_n=a_n+1可知S_n+1-S_n=S_n+1S_n，兩邊同時(shí)除以S_n+1S_n可知$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=1，進(jìn)而可知數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以首項(xiàng)、公差均為-1的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1=S_n+1S_n，
∴S_n+1-S_n=S_n+1S_n，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=1，
又∵a₁=-1，即$\frac{1}{{S}_{1}}$=-1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以首項(xiàng)是-1、公差為-1的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=-n，
∴S_n=-$\frac{1}{n}$，
故答案為：-$\frac{1}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．