Question

11．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$（a∈R）
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）若g（x）=f（x）+ax在其定義域?yàn)闇p函數(shù)，求a取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=-1代入函數(shù)的表達(dá)式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求a≤-$\frac{x}{{x}^{2}+1}$在（0，+∞）恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出新函數(shù)的最小值，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）a=-1時(shí)，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（2）g（x）=lnx-$\frac{a}{x}$+ax，（x＞0），
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$+a≤0，
∴a≤-$\frac{x}{{x}^{2}+1}$在（0，+∞）恒成立，
令h（x）=-$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，則h′（x）=$\frac{（x+1）（x-1）}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
令h′（x）＞0，解得：x＞1，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴函數(shù)h（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴h（x）_最小值=h（x）_極小值=h（1）=-$\frac{1}{2}$，
∴a≤-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．