Question

12．設f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當a=1時，求實數(shù)m的取值范圍，使得f（m）-f（x）＜$\frac{1}{m}$對任意x＞0恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的導數(shù)，對a討論，當a≤0時，當a＞0時，令導數(shù)大于0，可得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（2）先化簡求出g（x），在根據(jù)導數(shù)求出函數(shù)g（x）的最小值，而g（m）-g（x）＜$\frac{1}{m}$，對任意x＞0恒成立，轉(zhuǎn)化為lnm＜g（x）恒成立，問題得以解決．

解答 解：（1）f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，（x＞0），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，（x＞0），
當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上遞增；
當a＞0時，0＜x＜a時，f′（x）＜0，f（x）在（0，a）上遞減，
x＞a時，f′（x）＞0，f（x）在（a，+∞）上遞增．
綜上可得，當a≤0時，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞）；
當a＞0時，f（x）的增區(qū)間為（a，+∞），減區(qū)間為（0，a）．
（2）f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，
由a=1，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=1，
當f′（x）＞0，即x＞1時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當f′（x）＜0，即0＜x＜1時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
即有f（x）_min=f（1）=1，
由于f（m）-f（x）＜$\frac{1}{m}$，對任意x＞0恒成立，
則lnm+$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{m}$＜f（x），m＞0，
即有l(wèi)nm＜f（x）恒成立，
即lnm＜1，
解得0＜m＜e，
則實數(shù)m的取值范圍是（0，e）．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)求切線的方程和函數(shù)的最值，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查綜合利用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力．