Question

14．動直線x=m（m＞0）與函數(shù)f（x）=2x+$\frac{1}{x}$，g（x）=x-$\frac{1}{x}$-lnx分別交于點A，B，則|AB|的最小值為（　�。�

• A． 3+ln2
• B． 2
• C． $\frac{7}{2}$-ln2
• D． 3

Answer 1

分析 將兩個函數(shù)作差，得到函數(shù)y=f（x）-g（x），再求此函數(shù)的最小值，即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)函數(shù)y=f（x）-g（x）=x+$\frac{2}{x}$+lnx（x＞0），
求導數(shù)得y′=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$（x＞0），
令y′＜0，∴0＜x＜1，∴函數(shù)在（0，1）上為單調(diào)減函數(shù)，
令y′＞0，∵x＞0，∴x＞1，∴函數(shù)在（1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，
∴x=1時，函數(shù)取得唯一的極小值，即最小值為：1+2+ln1=3，
故所求|AB|的最小值即為函數(shù)y的最小值：3
故選：D．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值，屬中檔題．