Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+lnx-（a+1）x+$\frac{1}{2}$a（a為常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）的最小值為-1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可確定函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)f′（x）=2x+$\frac{1}{x}$-3=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求導(dǎo)f′（x）=$\frac{（ax-1）（x-1）}{x}$，從而分類討論以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f（x）=x²+lnx-3x+1，f′（x）=2x+$\frac{1}{x}$-3=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（$\frac{1}{2}$，1），單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞）和（0，$\frac{1}{2}$）；
（2）f′（x）=$\frac{（ax-1）（x-1）}{x}$，
當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）＞0，即f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）≥f（1）=-1，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)x∈（1，$\frac{1}{a}$）時(shí)，f（x）≤f（1）=-1，不合題意，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，即f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以f（x）≤f（1）=-1，不合題意，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用．