Question

5．求函數(shù)y=$\sqrt{2co{s}^{2}x+5sinx-1}$的值域．

Answer 1

分析 將函數(shù)化為$\sqrt{1+5sinx-2si{n}^{2}x}$令sinx=t，則y=$\sqrt{1+5t-2{t}^{2}}$，由二次函數(shù)的值域求法，即可得到所求值域．

解答 解：函數(shù)y=$\sqrt{2co{s}^{2}x+5sinx-1}$
=$\sqrt{1+5sinx-2si{n}^{2}x}$
令sinx=t，則y=$\sqrt{1+5t-2{t}^{2}}$
=$\sqrt{-2（t-\frac{5}{4}）^{2}+\frac{33}{8}}$，
由于1+5t-2t²≥0，
解得$\frac{5-\sqrt{33}}{4}$≤t≤$\frac{5+\sqrt{33}}{4}$，
可得t∈[$\frac{5-\sqrt{33}}{4}$，1]，
則t=1時(shí)，取得最大值，且為2，
t=$\frac{5-\sqrt{33}}{4}$時(shí)，取得最小值0．
故值域?yàn)閇0，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查可化為二次函數(shù)的值域的求法，注意換元法和正弦函數(shù)的值域，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．