Question

6．若函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-a）^{2}，x≤0}\\{x-lnx+5+a，x＞0}\end{array}\right.$的最小值為f（0），則實數a的取值范圍是[0，3]．

Answer 1

分析 若f（0）為f（x）的最小值，則當x≤0時，函數f（x）=（x-a）²為減函數，當x＞0時，求出函數f（x）的最小值f（1）≥f（0），進而得到實數a的取值范圍．

解答 解：若f（0）為f（x）的最小值，
則當x≤0時，函數f（x）=（x-a）²為減函數，故a≥0；
當x＞0時，f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，由f′（x）＞0得x＞1，由f′（x）＜0得0＜x＜1，即當x=1時函數取得極小值同時也是最小值f（1）=1-ln1+5+a=6+a，
則滿足f（1）≥f（0），
即6+a≥a²，得a²-a-6≤0，
解得：-2≤a≤3，
∵a≥0，∴0≤a≤3
綜上所述實數a的取值范圍是[0，3]，
故答案為：[0，3]．

點評 本題考查的知識點是分段函數的應用，熟練掌握并理解二次函數的性質，利用導數研究函數的單調性是解決本題的關鍵．