Question

11．f（x）=2sin（πx$-\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{sin（πx-\frac{π}{4}）}$=a在（$\frac{1}{4}$，1]上有且只有兩個(gè)解，則a的值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用換元法結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出t的取值范圍，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)建立方程即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)t=sin（πx$-\frac{π}{4}$），
∵x∈（$\frac{1}{4}$，1]，
∴πx∈（$\frac{π}{4}$，π]，πx-$\frac{π}{4}$∈（0，$\frac{3π}{4}$]，
則t=sin（πx$-\frac{π}{4}$）∈（0，1]，
且當(dāng)0＜t＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$或t=1時(shí)，方程t=sin（πx$-\frac{π}{4}$）有一解，
當(dāng)$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤t＜1時(shí)，方程t=sin（πx$-\frac{π}{4}$）有2解，
則y=2t+$\frac{1}{t}$=2（t+$\frac{\frac{1}{2}}{t}$），則函數(shù)在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上遞減，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]上遞增，
故當(dāng)t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，函數(shù)y=2t+$\frac{1}{t}$=2（t+$\frac{\frac{1}{2}}{t}$）有一個(gè)解，此時(shí)y=2$\sqrt{2}$，
故a=2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查根的個(gè)數(shù)的判斷，利用換元法結(jié)合三角函數(shù)和對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．