Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（b≠2a且ab≠0）．
（1）證明：函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）在區(qū)間（-1，-$\frac{1}{3}$）內(nèi)有唯一零點；
（2）根據(jù)a，b的不同取值情況，討論函數(shù)f（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)零點的判定定理結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；
（2）由f（x）=x[ax²+bx+（b-a）]，（a≠0），令g（x）=ax²+bx+（b-a），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷出g（x）的零點個數(shù)即可．

解答 （1）證明：f′（x）=3ax²+2bx+（b-a），（a≠0），
由f′（-1）=3a-2b+b-a=2a-b①，
由f′（-$\frac{1}{3}$）=3a•$\frac{1}{9}$+2b•（-$\frac{1}{3}$）+b-a=$\frac{1}{3}$（b-2a）②，
∵b≠2a
顯然：f′（-1）•f′（-$\frac{1}{3}$）＜0，
∴函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）在區(qū)間（-1，-$\frac{1}{3}$）內(nèi)有唯一零點；
（2）解：f（x）=ax³+bx²+（b-a）x
=x[ax²+bx+（b-a）]，（a≠0），
令g（x）=ax²+bx+（b-a），
△=b²-4a（b-a）=4a²-4ab+b²=（2a-b）²，
∵b≠2a，
∴△＞0，
∴g（x）有2個不相等的實數(shù)根，
∴函數(shù)f（x）有3個零點．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的零點問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．