Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+1，x∈[0，1]，求f（x）的最小值g（a），并求g（a）=-1時a的值及g（a）的最大值．

Answer 1

分析 配方可得（x+$\frac{a}{2}$）²+1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，針對對稱軸分類討論可得g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{2+a，a≤-2}\\{1-\frac{{a}^{2}}{4}，-2＜a＜0}\\{1，a≥0}\end{array}\right.$；g（a）=-1可化為$\left\{\begin{array}{l}{2+a=-1}\\{a≤-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{{a}^{2}}{4}=-1}\\{-2＜a＜0}\end{array}\right.$，解不等式組可得a值；分別求3段的值域，綜合可得g（a）的最大值．

解答 解：配方可得f（x）=x²+ax+1=（x+$\frac{a}{2}$）²+1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
當-$\frac{a}{2}$≤0即a≥0時，函數(shù)f（x）在x∈[0，1]單調(diào)遞增，
∴f（x）的最小值g（a）=f（0）=1；
當-$\frac{a}{2}$≥1即a≤-2時，函數(shù)f（x）在x∈[0，1]單調(diào)遞減，
∴f（x）的最小值g（a）=f（1）=2+a；
當0＜-$\frac{a}{2}$＜1即-2＜a＜0時，
函數(shù)f（x）在x∈[0，-$\frac{a}{2}$]單調(diào)遞減，在x∈[-$\frac{a}{2}$，1]單調(diào)遞增，
∴f（x）的最小值g（a）=f（-$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$．
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{2+a，a≤-2}\\{1-\frac{{a}^{2}}{4}，-2＜a＜0}\\{1，a≥0}\end{array}\right.$，
令g（a）=-1可得$\left\{\begin{array}{l}{2+a=-1}\\{a≤-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{{a}^{2}}{4}=-1}\\{-2＜a＜0}\end{array}\right.$，解得a=-3，
當a≤-2時，g（a）=2+a單調(diào)遞增，最大值為g（-2）=0；
當-2＜a＜0時，g（a）=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$單調(diào)遞增，最大值小于g（0）=1，
當a≥0時，g（a）為常數(shù)函數(shù)，值為1
∴g（a）的最大值為1

點評 本題考查二次函數(shù)閉區(qū)間的最值和單調(diào)性，分類討論是解決問題的關鍵，屬中檔題．