Question

3．如圖，已知△OAB中，點B關(guān)于點A的對稱點為C，D在線段OB上，且OD=2DB，DC和OA相交于點E．設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$．
（1）用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$表示向量$\overrightarrow{OC}$、$\overrightarrow{DC}$．
（2）若$\overrightarrow{OE}$=λ$\overrightarrow{OA}$，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）先判斷出A為線段BC的中點，根據(jù)向量加法、減法，及數(shù)乘的幾何意義即可得到$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow$，$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{2\overrightarrow{a}}-\frac{5}{3}\overrightarrow$；
（2）$\overrightarrow{OE}$可表示成：$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OC}+μ\overrightarrow{DC}=（2+2μ）\overrightarrow{a}$$-（1+\frac{5}{3}μ）\overrightarrow$，而$\overrightarrow{OE}=λ\overrightarrow{a}$，從而根據(jù)平面向量基本定理即可得到$\left\{\begin{array}{l}{2+2μ=λ}\\{1+\frac{5}{3}μ=0}\end{array}\right.$，解出λ即可．

解答 解：（1）根據(jù)條件A為線段BC中點；
∴$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{OB}+2（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）$=$2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow$；
$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$=$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow-\frac{2}{3}\overrightarrow=2\overrightarrow{a}-\frac{5}{3}\overrightarrow$；
（2）$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CE}$；
$\overrightarrow{CE}$與$\overrightarrow{DC}$共線；
∴存在實數(shù)μ，使$\overrightarrow{CE}=μ\overrightarrow{DC}=2μ\overrightarrow{a}-\frac{5}{3}μ\overrightarrow$；
∴$\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow+2μ\overrightarrow{a}-\frac{5}{3}μ\overrightarrow$=$（2+2μ）\overrightarrow{a}-（1+\frac{5}{3}μ）\overrightarrow$；
又$\overrightarrow{OE}=λ\overrightarrow{OA}=λ\overrightarrow{a}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2+2μ=λ}\\{1+\frac{5}{3}μ=0}\end{array}\right.$；
解得$λ=\frac{4}{5}$．

點評 考查向量加法、減法，及數(shù)乘的幾何意義，以及共線向量、平面向量基本定理．