Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2ⁿ+$\frac{{n}^{2}+n-2}{2}$（n∈N₊）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=（a_n-n）（3n-1），求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2ⁿ+$\frac{{n}^{2}+n-2}{2}$（n∈N₊），可得當n=1時，a₁=S₁；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1．即可得出．
（2）b_n=（a_n-n）（3n-1）=（3n-1）•2^n-1，利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=2ⁿ+$\frac{{n}^{2}+n-2}{2}$（n∈N₊），
∴當n=1時，a₁=S₁=2；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ+$\frac{{n}^{2}+n-2}{2}$-$[{2}^{n-1}+\frac{（n-1）^{2}+（n-1）-2}{2}]$=2^n-1+n．
當n=1時，上式成立．
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2^n-1+n．
（2）b_n=（a_n-n）（3n-1）=（3n-1）•2^n-1，
∴{b_n}的前n項和T_n=2×1+5×2+8×2²+…+（3n-1）×2^n-1，
2T_n=2×2+5×2²+…+（3n-4）×2^n-1+（3n-1）×2ⁿ，
∴-T_n=2+3×2+3×2²+…+3×2^n-1-（3n-1）×2ⁿ=$3×\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-1-（3n-1）×2ⁿ=（4-3n）×2ⁿ-4，
∴T_n=（3n-4）×2ⁿ+4．

點評 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”、遞推式的應(yīng)用，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．