Question

4．如圖，在某點(diǎn)B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為θ，沿BE方向前進(jìn)30米至C處測得頂端A的仰角為2θ，再繼續(xù)前進(jìn)10$\sqrt{3}$米至D處，測得頂端A的仰角為4θ，則θ的值為15°．

Answer 1

分析 由題意及仰角的定義，由題意可得AC=BC=30，AD=CD=10$\sqrt{3}$，由余弦定理可得cos4θ，進(jìn)而可得sin4θ，在△ADE中，AE=ADsin4θ，代值計(jì)算可得利用數(shù)形結(jié)合的思想，利用圖形中角與角的聯(lián)系，求出θ=15°．

解答 解：由題意可得AC=BC=30，AD=CD=10$\sqrt{3}$，
在△ACD中，由余弦定理可得cos（π-4θ）
=$\frac{C{D}^{2}+A{D}^{2}-A{C}^{2}}{2CD•AD}$=$\frac{300+300-900}{2×10\sqrt{3}×10\sqrt{3}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴cos4θ=$\frac{1}{2}$，sin4θ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴4θ=60°，
∴θ=15°；
故答案為：15°．

點(diǎn)評 本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及余弦定理和等腰三角形的知識，屬中檔題．