Question

17．已知二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且不等式f（x）+2x＞0的解集為（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的最大值為正數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若方程f（x）+6a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，結(jié)合不等式的解集，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可求f（x）的解析式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．

解答 解（1）依題意可設(shè)f（x）+2x=a（x-1）（x-3）…（2分）
即a（x-1）（x-3）＞0的解集為（1，3）
∴a＜0…（3分）f（x）=ax²-2（2a+1）x+3a
又方程f（x）+6a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，
∴ax²-2（2a+1）+9a=0有兩相等實(shí)根
∴△=4（2a+1）²-36a²=0
∴$a=-\frac{1}{5}$（a=1舍去）…（5分）
$f（x）=-\frac{1}{5}{x^2}-\frac{6}{5}x-\frac{3}{5}$…（6分）
（2）$f{（x）_{max}}=\frac{{12{a^2}-4{{（2a+1）}^2}}}{4a}$＞0…（8分）
∵a＜0
∴a²+4a+1＞0
故$a∈（-∞，-2-\sqrt{3}）∪（-2+\sqrt{3}，0）$…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次函數(shù)解析式的求解，利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．