Question

16．若函數(shù)f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+m在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為2，求函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化簡(jiǎn)f（x）的解析式，再根據(jù)函數(shù)的最大值求出m，可得f（x）的解析式；再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的遞增區(qū)間．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+m=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1+m=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1，
在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
故f（x）的最大值為2+m+1，再根據(jù)f（x）的最大值為2，可得2+m+1=2，
故m=-1，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．