Question

10．設(shè)直線l與坐標(biāo)軸的交點分別為M（a，0），N（0，b），且ab≠0，斜率為k，坐標(biāo)原點到直線l的距離為d．證明：
（1）b=-ka；
（2）a²k²=d²（1+k²）；
（3）$\frac{1}{2zesugg^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）利用斜率計算公式可得k=$\frac{b-0}{0-a}$，化簡即可得出．
（2）直線l的截距式為：$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$，利用點到直線的距離公式即可得出；
（3）由（2）可得$\frac{1}{gra5eih^{2}}$=$\frac{1+{k}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}{{a}^{2}•{a}^{2}{k}^{2}}$，再利用（1）的結(jié)論b=-ka即可證明．

解答 證明：（1）k=$\frac{b-0}{0-a}$，化為b=-ka．
（2）直線l的方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$，化為bx+ay-ab=0．
則坐標(biāo)原點到直線l的距離為d=$\frac{|0-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{|-k{a}^{2}|}{\sqrt{{k}^{2}{a}^{2}+{a}^{2}}}$，兩邊平方可得：a²k²=d²（1+k²）．
（3）由（2）可得$\frac{1}{r5g1z59^{2}}$=$\frac{1+{k}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}{{a}^{2}•{a}^{2}{k}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}•^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$，
∴$\frac{1}{x4m1d6u^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$．

點評 本題考查了直線的截距式、斜率計算公式、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．