Question

20．已知函數(shù)f（x）=ln（x+m+1），m∈R．
（I）若直線y=x+1與函數(shù)y=f（x）的圖象相切，求m的值；
（Ⅱ）當m≤1時，求證f（x）＜e^x．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，設出切點，求得切線的斜率，由點滿足曲線和切線方程，解方程，可得m=1：
（2）由m≤1，可得ln（x+m+1）≤ln（x+2），要證f（x）＜e^x，只需證ln（x+2）＜e^x，令h（x）=e^x-ln（x+2），求出導數(shù)，運用零點存在定理，可得?x₀∈（-1，0），使h′（x₀）=0，求得h（x）的最小值，證明它大于0，即可得證．

解答 解：函數(shù)f（x）=ln（x+m+1）的導數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x+m+1}$，
（1）設直線y=x+1與函數(shù)f（x）的圖象切于點（x₀，y₀），
則y₀=x₀+1，y₀=ln（x₀+m+1），$\frac{1}{{x}_{0}+m+1}$=1，
解得x₀=-1，y₀=0，m=1；
（2）證明：由m≤1，可得ln（x+m+1）≤ln（x+2），
要證f（x）＜e^x，只需證ln（x+2）＜e^x，
令h（x）=e^x-ln（x+2），則h′（x）=e^x-$\frac{1}{x+2}$，
由h′（-1）=$\frac{1}{e}$-1＜0，h′（0）=$\frac{1}{2}$＞0，
即有?x₀∈（-1，0），使h′（x₀）=0，
即${e}^{{x}_{0}}$=$\frac{1}{2+{x}_{0}}$，ln（x₀+2）=-x₀，
則h（x）在（-2，x₀）上遞減，在（x₀，+∞）上遞增，
即有h（x）_min=h（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-ln（x₀+2），
則h（x）≥h（x）_min=${e}^{{x}_{0}}$-ln（x₀+2）=$\frac{1}{2+{x}_{0}}$+x₀=$\frac{（{x}_{0}+1）^{2}}{2+{x}_{0}}$＞0，
則有f（x）＜e^x．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，主要考查導數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性的運用，考查運算能力，屬于中檔題．