Question

5．函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的圖象如圖所示，則函數(shù)g（x）=log₂（x²+$\frac{2b}{3}$+$\frac{c}{3}$）的單調(diào)遞減區(qū)間是（　�。�

• A． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． （-∞，$\frac{1}{2}$）
• C． （-2，3）
• D． （-∞，-2）

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由圖象得到f′（-2）=f（3）=0，聯(lián)立求得b，c的值，代入g（x）=x²+$\frac{2b}{3}$+$\frac{c}{3}$，由g（x）＞0求得x的范圍，再由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）的減區(qū)間，則函數(shù)g（x）=log₂（x²+$\frac{2b}{3}$+$\frac{c}{3}$）的單調(diào)遞減區(qū)間可求．

解答 解：∵f（x）=x³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3x²+2bx+c，
由圖可知f′（-2）=f（3）=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{12-4b+c=0}\\{27+6b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-18}\end{array}\right.$令g（x）=則g（x）=x²-x-6，g′（x）=2x-1．
由g（x）=x²+$\frac{2b}{3}$+$\frac{c}{3}$=x²-x-6＞0，解得x＜-2或x＞3．
當(dāng)x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，g′（x）＜0，
∴g（x）=x²-x-6在（-∞，-2）上為減函數(shù)．
∴函數(shù)g（x）=log₂（x²+$\frac{2b}{3}$+$\frac{c}{3}$）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-2）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法，關(guān)鍵是注意函數(shù)的定義域，是中檔題．