Question

10．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是線段C₁D₁，A₁B₁上的點(diǎn)且C₁E=A₁F=$\frac{1}{3}$A₁B₁，則直線BE與DF所成角的余弦值是$\frac{1}{19}$．

Answer 1

分析 分別以邊D₁A₁，D₁C₁，D₁D所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可設(shè)正方體的邊長為1，根據(jù)條件可確定B，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到向量$\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{DF}$的坐標(biāo)，根據(jù)向量夾角余弦的坐標(biāo)公式即可求出$cos＜\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{DF}＞$，從而得出異面直線BE，DF所成角的余弦值．

解答 解：如圖，
以D₁A₁，D₁C₁，D₁D三直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為1，則：
B（1，1，1），E（$0，\frac{2}{3}，0$），D（0，0，1），F(xiàn)（1，$\frac{1}{3}$，0）；
∴$\overrightarrow{BE}=（-1，-\frac{1}{3}，-1）$，$\overrightarrow{DF}=（1，\frac{1}{3}，-1）$；
∴cos$＜\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{DF}＞$=$\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DF}}{|\overrightarrow{BE}||\overrightarrow{DF}|}=\frac{-\frac{1}{9}}{1+\frac{1}{9}+1}=-\frac{1}{19}$；
∴直線BE與DF所成角的余弦值是$\frac{1}{19}$．
故答案為：$\frac{1}{19}$．

點(diǎn)評(píng) 考查通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決異面直線所成角的問題的方法，能求空間點(diǎn)的坐標(biāo)，以及由點(diǎn)的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，弄清兩異面直線所成角和這兩直線的方向向量的夾角的關(guān)系．