Question

18．一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示（其中M，N分別是AF，BC的中點）
（1）求證：MN∥平面CDEF；
（2）求多面體A-CDEF的體積．

Answer 1

分析 由三視圖可知：平面ABCD⊥平面ABFE，AD⊥平面ABFE，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，底面ABFE是邊長為2的正方形，M，N分別為AF，BC的中點．
（1）取BF的中點P，連接MP，NP．又M，N分別為AF，BC的中點．利用三角形中位線定理、面面平行的判定定理可得：平面MNP∥平面CDEF，即可證明MN∥平面CDEF．
（2）作AQ⊥DE，垂足為Q，利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理可得：AQ⊥平面CDEF．即可得出多面體A-CDEF的體積．

解答 解：由三視圖可知：平面ABCD⊥平面ABFE，AD⊥平面ABFE．
四邊形ABCD是邊長為2的正方形，底面ABFE是邊長為2的正方形，M，N分別為AF，BC的中點．
（1）證明：取BF的中點P，連接MP，NP．
又M，N分別為AF，BC的中點．
∴NP∥CF，MP∥AB，
又AB∥EF，
可得MP∥EF．
又MP∩NP=P，MP?平面CDEF，NP?平面CDEF．
∴平面MNP∥平面CDEF；
∴MN∥平面CDEF．
（2）解：作AQ⊥DE，垂足為Q，
∵AD⊥平面ABFE，∴AD⊥EF．
又FE⊥AE，AD∩AE，
∴FE⊥平面ADE，
∴FE⊥AQ，
∴AQ⊥平面CDEF．
∵S_{四邊形CDEF}=EF•DE=4×$2\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$．
∴AQ=$\frac{4×4}{4\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴V_A-CDEF=$\frac{1}{3}×4×4\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=$\frac{64}{3}$．

點評 本題考查了線面面面平行與垂直的判定及其性質(zhì)定理、二面角、四棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．