Question

5．設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=lg（ax²-x+$\frac{1}{16}$a）定義域為R；命題q：不等式3^x-9^x＜a對任意x∈R恒成立．
（1）如果p是真命題，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）如果命題“p或q”為真命題且“p且q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論a的范圍，得到不等式組，解出即可；（2）分別求出p，q真時的a的范圍，再根據(jù)p真q假或p假q真得到不等式組，解出即可．

解答 解：（1）由題意ax²-x+$\frac{1}{16}$a＞0 對任意x∈R恒成立，
當a=0時，不符題意，舍去；
當a≠0時，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-4a•\frac{1}{16}a＜0}\end{array}\right.$⇒a＞2，
所以實數(shù)a的取值范圍是a＞2．
（2）設(shè)t=3^x（t＞0），g（t）=-t²+t=-${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$，
g（t）_max=$\frac{1}{4}$，
當q為真命題時，有a＞$\frac{1}{4}$，
∵命題“p或q”為真命題且“p且q”為假命題，
∴p與q一個為真，一個為假，
當p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a≤\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，無解，
當p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a＞\frac{1}{4}}\end{array}\right.$⇒$\frac{1}{4}$＜a≤2，
綜上，實數(shù)a的取值范圍是：$\frac{1}{4}$＜a≤2．

點評 本題考查了復合命題的判斷，考查對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．