Question

18．如圖，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)計劃以公路MN為對角線修建一個矩形的農業(yè)觀光園區(qū)AMPN，在觀光園區(qū)內再建造一矩形服務中心ABCD，已知B在AM上，C在MN上，D在AN上，公路MN的長度為10千米，設∠AMN=θ．
（1）當θ為多少時，農業(yè)觀光園區(qū)AMPN的面積最大；
（2）若θ=30°，則CM的長度為多少時，服務中心ABCD的面積最大．

Answer 1

分析 （1）由題意，AM=10cosθ，AN=10sinθ，農業(yè)觀光園區(qū)AMPN的面積S=AM•AN=10cosθ•10sinθ=50sin2θ，即可得出結論；
（2）設CM=x千米，θ=30°，則CB=$\frac{1}{2}$x，AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（10-x），服務中心ABCD的面積為CB•AB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x（10-x），利用基本不等式可得結論．

解答 解：（1）由題意，AM=10cosθ，AN=10sinθ，
∴農業(yè)觀光園區(qū)AMPN的面積S=AM•AN=10cosθ•10sinθ=50sin2θ，
∴θ=45°時，農業(yè)觀光園區(qū)AMPN的面積最大，最大為50平方千米；
（2）設CM=x千米，θ=30°，則CB=$\frac{1}{2}$x，AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（10-x），
服務中心ABCD的面積為CB•AB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x（10-x）≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$•$（\frac{x+10-x}{2}）^{2}$=$\frac{25\sqrt{3}}{4}$，
當且僅當x=10-x，即x=5時服務中心ABCD的面積最大．

點評 本題考查根據題設關系列出面積關系式，考查利用三角函數、基本不等式求最值，解題的關鍵是確定面積．