Question

9．在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為DD₁的中點(diǎn)．
（1）判斷BD₁與平面AEC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）若AB=BC=$\sqrt{3}$，CC₁=2，求異面直線AE、BD₁所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接BD，設(shè)交AC于O，連接EO，便可說(shuō)明BD₁∥OE，由線面平行的判定定理即可得出BD₁∥平面AEC；
（2）由上面BD₁∥OE即可得到異面直線AE、BD₁所成的角為∠AEO，而通過(guò)條件可說(shuō)明OE⊥AC，并且可求出AE，OE，從而根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系cos∠AEO=$\frac{EO}{AE}$，這樣即可求出異面直線AE，BD₁所成角的余弦值．

解答 解：（1）BD₁∥平面AEC，如圖，連結(jié)BD交AC于O，則O為BD中點(diǎn)，連結(jié)OE；

∵E為DD₁的中點(diǎn)，∴OE∥BD₁；
∵OE?平面AEC，BD₁?平面AEC；
∴BD₁∥平面AEC；
（2）∵OE∥BD₁；
∴異面直線AE，BD₁所成的角為∠AEO；
∵$AB=BC=\sqrt{3}，C{C}_{1}=2$；
∴EA=EC=2，$EO=\frac{1}{2}B{D}_{1}=\frac{\sqrt{10}}{2}$；
∴EO⊥AC；
∴Rt△AEO中，cos$∠AEO=\frac{EO}{EA}=\frac{\sqrt{10}}{4}$；
因此，異面直線AE，BD₁所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 考查三角形中位線的性質(zhì)，線面平行的判定定理，以及異面直線所成角的定義及求法，直角三角形邊角的關(guān)系．