Question

3．設(shè)f（x）定義于實(shí)數(shù)集上，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，有f（x+y）=f（x）•f（y），求證：f（x）在R上為增函數(shù)．

Answer 1

分析 采用賦值法，令x=y=0，即可求得f（0）；對(duì)任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），由f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x）可求得f（x）＞0，再利用單調(diào)性的定義即可證明f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．

解答 證明：令x=y=0，f（0）=f²（0）⇒f（0）=0或f（0）=1，
∵x＞0時(shí)，f（x）＞1
∴f（1）＞1，又f（1）=f（1+0）=f（1）f（0），∴f（0）≠0，故f（0）=1．
又f（0）=f（x-x）=f[x+（-x）]=f（x）f（-x），∴f（x）f（-x）=1，
∴對(duì)于任意x＜0，則-x＞0，∴f（-x）＞1，∴f（x）=$\frac{1}{f（-x）}$＞0，
∴?x∈R，f（x）＞0，
設(shè)任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁、x₂，且x₁＜x₂，
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞1，
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查賦值法的運(yùn)用，考查函數(shù)單調(diào)性的定義的應(yīng)用，屬于中檔題．