Question

7．設(shè)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，且當(dāng)x∈（-1，3]時，$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{m\sqrt{1-{x^2}}，\;\;\;\;\;-1＜x≤1}\\{1-|{x-2}|，\;\;\;\;\;\;\;\;1＜x≤3}\end{array}}\right.$，若函數(shù)g（x）=3f（x）-x有且僅有五個零點，則正實數(shù)m的取值范圍是（$\frac{\sqrt{15}}{3}$，$\sqrt{7}$）．

Answer 1

分析 函數(shù)g（x）=3f（x）-x有且僅有五個零點，即為g（x）=0有五個不相等的實根，作出函數(shù)f（x）的圖象，以及直線y=$\frac{1}{3}$x，即考慮它們的交點有5個，分別求出直線與f（x）在（3，5）和（7，9）的圖象相切的m的值，運(yùn)用聯(lián)立方程，根據(jù)判別式為0，再由圖象觀察即可得到m的范圍．

解答 解：函數(shù)g（x）=3f（x）-x有且僅有五個零點，即為
g（x）=0有五個不相等的實根，
作出函數(shù)f（x）的圖象，以及直線y=$\frac{1}{3}$x，
即考慮它們的交點有5個，
由f（x）是周期為4的周期函數(shù)，可得當(dāng)3＜x＜5時，
f（x）=m$\sqrt{1-（x-4）^{2}}$，
當(dāng)7＜x＜9時，f（x）=m$\sqrt{1-（x-8）^{2}}$，
當(dāng)直線y=$\frac{1}{3}$x與曲線f（x）=m$\sqrt{1-（x-8）^{2}}$，（7＜x＜9）相切，
由$\frac{1}{3}$x=m$\sqrt{1-（x-8）^{2}}$平方整理可得，（1+9m²）x²-144m²x+567m²=0，
根據(jù)判別式△=（144m²）²-4（1+9m²）•567m²=0，
解得m=$\sqrt{7}$，
當(dāng)直線y=$\frac{1}{3}$x與曲線f（x）=m$\sqrt{1-（x-4）^{2}}$，（3＜x＜5）相切，
由$\frac{1}{3}$x=m$\sqrt{1-（x-4）^{2}}$平方整理可得，（1+9m²）x²-72m²x+135m²=0，
根據(jù)判別式△=（72m²）²-4（1+9m²）•135m²=0，
解得m=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
通過圖象觀察可得，當(dāng)直線y=$\frac{1}{3}$x與曲線f（x）=m$\sqrt{1-（x-4）^{2}}$，（3＜x＜5）相切，
直線與f（x）圖象有4個交點，當(dāng)m＞$\frac{\sqrt{15}}{3}$時，有5個交點，
一直到直線y=$\frac{1}{3}$x與曲線f（x）=m$\sqrt{1-（x-8）^{2}}$，（7＜x＜9）相切，
即有m＜$\sqrt{7}$．
則正實數(shù)m的取值范圍是（$\frac{\sqrt{15}}{3}$，$\sqrt{7}$）．
故答案為：（$\frac{\sqrt{15}}{3}$，$\sqrt{7}$）．

點評 本題考查分段函數(shù)的圖象及運(yùn)用，主要考查周期函數(shù)的運(yùn)用，同時考查直線和曲線相切的條件，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．