Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+a|+|2x-1|，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥3的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤2x的解集包含[$\frac{1}{2}$，1]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式|x+1|+|2x-1|≥3，通過(guò)討論x的范圍，從而求出不等式的解集；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式|x+a|≤1，得到不等式組$\left\{\begin{array}{l}{-a-1≤\frac{1}{2}}\\{-a+1≥1}\end{array}\right.$，解出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時(shí)，不等式f（x）≥3可化為：
|x+1|+|2x-1|≥3，
x≥$\frac{1}{2}$時(shí)，3x≥3，解得：x≥1，
-1≤x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，2-x≥3，解得：x=-1，
x＜-1時(shí)，-3x≥3，解得：x＜-1，
綜上：原不等式的解集是{x|x≤-1或x≥1}；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤2x的解集包含[$\frac{1}{2}$，1]，
∴不等式可化為|x+a|≤1，
解得：-a-1≤x≤-a+1，
由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{-a-1≤\frac{1}{2}}\\{-a+1≥1}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{3}{2}$≤a≤0，
∴a的范圍是[-$\frac{3}{2}$，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想，分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．