Question

10．如圖，在△ABC中，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BD}$，若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，則$\frac{λ}{μ}$的值為3．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的基本定理結(jié)合向量加法的三角形分別進(jìn)行分解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$，$\overrightarrow{BP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BD}$，
∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{BD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，
∴λ=$\frac{2}{3}$，μ=$\frac{2}{9}$，
則$\frac{λ}{μ}$=$\frac{2}{3}$÷$\frac{2}{9}$=3，
故答案為：3

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平面向量基本定理的應(yīng)用，根據(jù)向量的和差運(yùn)算將向量進(jìn)行分解是解決本題的關(guān)鍵．